一、介绍

1、什么是RNN

• 传统的神经网络是层与层之间是全连接的，但是每层之间的神经元是没有连接的（其实是假设各个数据之间是独立的）
  • 这种结构不善于处理序列化的问题。比如要预测句子中的下一个单词是什么，这往往与前面的单词有很大的关联，因为句子里面的单词并不是独立的。
• RNN 的结构说明当前的的输出与前面的输出也有关，即隐层之间的节点不再是无连接的，而是有连接的
  • 基本的结构如图，可以看到有个循环的结构，将其展开就是右边的结构

2、运算说明

• 如上图，输入单元(inputs units): $\{ {x_0},{x_1}, \cdots \cdots ,{x_t},{x_{t + 1}}, \cdots \cdots \}$,
  • 输出单元(output units)为：$\{ {o_0},{o_1}, \cdots \cdots ,{o_t},{o_{t + 1}}, \cdots \cdots \}$,
  • 隐藏单元(hidden units)输出集: $\{ {s_0},{s_1}, \cdots \cdots ,{ost},{s_{t + 1}}, \cdots \cdots \}$
• 时间 t 隐层单元的输出为：${s_t} = f(U{x_t} + W{s_{t - 1}})$
  • f就是激励函数，一般是sigmoid,tanh, relu等
  • 计算${s_{0}}$时，即第一个的隐藏层状态，需要用到${s_{-1}}$，但是其并不存在，在实现中一般置为0向量
  • （如果将上面的竖着立起来，其实很像传统的神经网络，哈哈）
• 时间 t 的输出为：${o_t}=Softmax(V{s_t})$
  • 可以认为隐藏层状态${s_t}$是网络的记忆单元. ${s_t}$包含了前面所有步的隐藏层状态。而输出层的输出${o_t}$只与当前步的${s_t}$有关。
  • （在实践中，为了降低网络的复杂度，往往${s_t}$只包含前面若干步而不是所有步的隐藏层状态）
• 在RNNs中，每输入一步，每一层都共享参数U,V,W，（因为是将循环的部分展开，天然应该相等）
• RNNs的关键之处在于隐藏层，隐藏层能够捕捉序列的信息。

3、应用方面

• 循环神经网络(Recurrent Neural Networks，RNNs)已经在众多自然语言处理(Natural Language Processing, NLP)中取得了巨大成功以及广泛应用。目前使用最广泛最成功的模型便是LSTMs(Long Short-Term Memory，长短时记忆模型)模型

  (1) 语言模型和文本生成

• 给定一个单词序列，根据前面的单词预测下面单词的可能性
• 也可以根据概率生成新的词
• 这里给出了3篇论文
  • Recurrent neural network based language model
  • Extensions of Recurrent neural network based language model
  • Generating Text with Recurrent Neural Networks

    (2) 机器翻译

• 和上面的语言模型很像，只不过是根据一段过生成另外的一段话
• 注意的是开始的输出是在全部输入结束后生成的
• 一些论文
  • A Recursive Recurrent Neural Network for Statistical Machine Translation
  • Sequence to Sequence Learning with Neural Networks

(3) 语音识别

• 论文
  • Towards End-to-End Speech Recognition with Recurrent Neural Networks

    (4) 图像描述生成

• 根据图像，生成一段描述图像的话
• 需要和CNN结合使用

二、结构

1、One to One

• 即一个输入对应一个输出，就是上面的图

  2、Many to One

• 即多个输入对应一个输出，比如情感分析，一段话中很多次，判断这段话的情感
• 其中$x_{1},x_{2},\ldots,x_{t}$表示句子中的t个词，o代表最终输出的情感标签
• 前向计算就是：$$f(x)=Vs_{t}=V(Ux_{t}+Ws_{t-1})=V(Ux_{t}+W(Ux_{t-1}+Ws_{t-2}))\cdots$$
  

  3、One to Many

• 前向计算类似，不再给出
  

  4、Many to Many

• 前向计算类似，不再给出
  

  5、双向RNN（Bidirectional RNN）

• 比如翻译问题往往需要联系上下文内容才能正确的翻译，我们上面的结构线性传递允许“联系上文”，但是联系下文并没有，所以就有双向RNN
• 前向运算稍微复杂一点，以t时刻为例
  $
  o_{t} = W_t^{(os)}s_t + W_t^{(oh)}h_t \\
  \quad = W_t^{(os)} (W_{t-1}^{(ss)} s_{t-1} + W_{t}^{(sx)} x_{t-1}) + W_t^{(oh)} (W_t^{(hh)} h_{t+1} + W_t^{(hx)}x_t)
  $
  

6、深层的RNN

• 上面的结构都是只含有一层的state层，根据传统NN和CNN，深层次的结构有更加号的效果，结构如图
  

三、Back Propagation Through Time(BPTT)训练

• 关于传统神经网络BP算法可以查看这里神经网络部分的推导

  1、符号等说明

• 以下图为例

• 符号说明
  • $\phi$………………………………………………隐藏层的激励函数
  • $\varphi$………………………………………………输出层的变换函数
  • $L_{t} = L_{t}\left( o_{t},y_{t} \right)$……………………………模型的损失函数
    • 标签数据$y_{t}$是一个 one-hot 向量

2、反向传播过程

• 接受完序列中所有样本后再统一计算损失，此时模型的总损失可以表示为（假设输入序列长度为n）：$$L = \sum_{t = 1}^{n}L_{t}$$
  
• $o_{t} = \varphi(Vs_t) = \varphi(V(Ux_t + Ws_{t-1}))$
  • 其中$s_{0} = \mathbf{0 =}( 0,0,\ldots,0 )^{T}$
• 令：${o_{t}^* = Vs_{t}}, \quad {s_{t}^{*} = Ux_{t} + Ws_{t - 1}}…………(1)$ (就是没有经过激励函数和变换函数前)
  • 则：$o_{t} = \varphi( o_{t}^*)$
  • $s_{t} = \phi(s_{t}^{*})$

(1) 矩阵V的更新

• 对矩阵 V 的更新过程,根据(1)式可得， (和传统的神经网络一致，根据求导的链式法则):
  • $${{{\partial {L_t} \over \partial o_t^{\ast}}} = {{\partial L_t \over \partial o_t } \ast {\partial o_t \over \partial o_{t}^{\ast} }} = {{\partial L_t \over \partial o_t} \ast \varphi ^{'} (o_t^{\ast})}}$$
  • $${{{\partial L_t} \over {\partial V }}} = {{\partial L_t \over \partial Vs_t} } \ast {{\partial Vs_t \over \partial V}} = {{\partial L_t \over \partial o_t^\ast}} \times s_t^T = ({{\partial L_t \over \partial o_t} \ast \varphi ^{'} (o_{t}^\ast)}) \times s_t^T$$ - 因为${L = \sum_{t = 1}^{n}L_{t}}$，所以对矩阵V的更新对应的导数:
    $${{\partial L \over \partial V} = {\sum\limits_{t=1}^n ({\partial L_t \over \partial o_t} \ast \varphi ^{'} (o_t^\ast)) \times s_t^T}}$$

(2) 矩阵U和W的更新

• RNN 的 BP 算法的主要难点在于它 State 之间的通信
• 可以采用循环的方法来计算各个梯度，t应从n开始降序循环至 1
• 计算时间通道上的局部梯度（同样根据链式法则）
  $$ {{\partial L_t \over \partial s_t^{\ast}}} = {{\partial L_t \over \partial Vs_t}} \times {{\partial s_t^{T} V_t^{T} \over \partial s_t}} \ast {{\partial s_t \over \partial s_t^{\ast}}} = V^T \times ({{\partial L_t \over \partial o_t}} * {\varphi ^{‘} (o_t^{\ast}))} $$

$$ {{\partial L_t \over \partial s_{k-1}^\ast}} ={{\partial s_k^\ast \over \partial s_{k-1}^\ast}} \times {{\partial L_t \over \partial s_{k}^\ast}} = W_T \times ({{\partial L_t \over \partial s_k^\ast} * {\phi ^{'} (s_{k-1}^\ast)}}) , (k=1,……,t) ………(2)$$

• 利用局部梯度计算U和W的梯度
  • 这里累加是因为权值是共享的，所以往前推算一直用的是一样的权值
    $${\partial L_t \over \partial U} + = {\sum\limits_{k=1}^t {\partial L_t \over \partial s_k^\ast} \times {\partial s_k^\ast \over \partial U}} = {\sum\limits_{k=1}^t {\partial L_t\over \partial s_k^\ast}} \times x_t^T $$
    $${\partial L_t \over \partial W} + = {\sum\limits_{k=1}^t {\partial L_t \over \partial s_k^\ast} \times {\partial s_k^\ast \over \partial W}} = {\sum\limits_{k=1}^t {\partial L_t\over \partial s_k^\ast}} \times s_{t-1}^T ………………..(3)$$

3、训练问题

• 从 公式(2)和(3) 中可以看出，时间维度上的权重W更新需要计算$\phi^{‘} (s_k^{\ast})$，即经过激励函数的导数
• 如果时间维度上很长，则这个梯度是累积的，所以造成梯度消失或爆炸
  • 可以想象将结构图竖起来，就是一个深层的神经网络，所以容易出现梯度问题
  • 关于梯度消失的问题可以查看我这里一遍博客
• RNN 主要的作用就是能够记住之前的信息，但是梯度消失的问题又告诉我们不能记住太久之前的信息，改进的思路有两点
  • 一是使用一些trick,比如合适的激励函数，初始化，BN等等
  • 二是改进state的传递方式，比如就是下面提及的LSTM
    • 关于为何 LSTMs 能够解决梯度消失，直观上来说就是上方时间通道是简单的线性组合

四、Long Short-Term Memory(LSTM，长短时记忆网络)

1、介绍

• LSTM 是一般 RNN 的升级，因为一些序列问题，我们可能需要忘记一些东西， LSTM 和普通 RNN 相比, 多出了三个控制器. (输入控制, 输出控制, 忘记控制)
• 在LSTM里，这个叫做cell（其实就是前面的state,只是这里更加复杂了）, 可以看作一个黑盒，这个cell结合前面cell的输出$h_{t-1}$和当前的输入$x_{t}$来决定是否记忆下来，该网络结构在对长序列依赖问题中非常有效

2、结构

• 一个经典的cell结构如下图
  • $\phi_{1} $是sigmoid函数，$\phi_{2}$ 是tanh函数
  • *表示 element wise 乘法(就是点乘)，使用X表示矩阵乘法
• LSTMs 的 cell 的时间通道有两条。
  • 上方的时间通道（$h^{\left( {old} \right)} \rightarrow h^{\left( {new} \right)}$）仅包含了两个代数运算,这意味着它信息传递的方式会更为直接 $$h^{(new)} = h^{(old)}*r_1 + r_2$$
  • 位于下方的时间通道（$s^{\left( {old} \right)} \rightarrow s^{\left( {new} \right)}$）则运用了大量的层结构,在 LSTMs 中，我们通常称这些层结构为门（Gates）

3、运算说明

• Sigmoid 函数取值区间为 0-1，那么当 Sigmoid 对应的层结构输出 0 时，就对应着遗忘这个过程；当输出 1 时，自然就对应着接受这个过程。
  • 事实上这也是 Sigmoid 层叫门的原因——它能决定“放哪些数据进来”和决定“不让哪些数据通过”
• 最左边的Sigmoid gate 叫做遗忘门, 控制着时间通道信息的遗忘程度
  • 前向计算: $r_1 = \phi_1(W_1 \times x^*)$
    • 其中 $x^* \buildrel \Delta \over =[x,s^{(old)}] $，表示当前输入样本和下方时间通道$s^{(old)}$连接(concat)起来
• 第二个 Sigmoid Gate 通常被称为输入门（Input Gate）, 控制着当前输入和下方通道信息对上方通道信息的影响
  • 前向运算为：$g_{1} = \phi_{1} ( W_{2} \times x^{*} )$,
• 第三个 Tanh Gate 则允许网络结构驳回历史信息, 因为tanh的值域是(-1,1)
  • 前向运算为：$g_{2} = \phi_{2} ( W_{3} \times x^{*} )$
  • $r_{2} = g_{1}*g_{2}$
• 第四个 Sigmoid Gate 通常被称为输出门（Output Gate），它为输出和传向下一个 cell 的下方通道信息作出了贡献。
  • 对应的前向传导算法为：$g_{3} = \phi_{1}\left( W_{4} \times x^{*} \right)$
• 最终cell的输出为：$o = s^{\left( \text{new} \right)} = \phi_{2}\left( h^{\left( \text{new} \right)} \right)*g_{3}$
• 每个 Gate 对应的权值矩阵是不同的（$W_{1}\sim W_{4}$），切勿以为它们会共享权值

Reference

• http://www.wildml.com/2015/09/recurrent-neural-networks-tutorial-part-1-introduction-to-rnns/
• http://www.wildml.com/2015/09/recurrent-neural-networks-tutorial-part-2-implementing-a-language-model-rnn-with-python-numpy-and-theano/
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/26891871
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/26892413

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